【答案】已知函数f(x)=lnx-ax

返回首页问题时间:2023-02-20 17:34
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已知函数f(x)=lnx-ax.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)f(x)=0在[1,e2]上有解,求a的取值范围.
答案
(Ⅰ)定义域为(0,+∞)f′(x)=(1/x0-a=(1-ax)/x

当a≤0时,f′(x)>0恒成立,f(x)的单调递增区间为(0,+∞)

当a>0时,令f′(x)>0,x<1/a

令f′(x)<0,x>1/a

故f(x)的单调递增区间为(0,1/a),单调递减区间为(1/a,+∞)

(Ⅱ)lnx-ax=0在x∈[1,e2]上有解

故a=lnx/x在x∈[1,e2]上有解

令g(x)=lnx/x(1≤x≤e2)g′(x)=1-lnx/x2

令g′(x)=0得x=eg(1)=0,g(e)=1/e,g(e2)=2/e2

∴0≤g(x)≤1/e

∴0≤a≤1/e

考点名称:函数的单调性、最值

单调性的定义:

1、对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是区间上的增函数;当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数,就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D称为函数f(x)的单调区间。如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,区间D称为函数f(x)的单调增或减区间

3、最值的定义:

最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足:①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最大值.

最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足:①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最小值
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